Математический анализ Примеры

$\sin (x) = x (1 + \tan (y))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\sin (x)) = \frac{d}{d x} (x (1 + \tan (y)))$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 + \tan (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [1 + \tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $1 + \tan (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]$ .

$x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\tan (y)]$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \cdot 1$

Этап 3.6

Умножим $1 + \tan (y)$ на $1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\cos (x) = x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$ .

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в $x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$ .

$x y' \sec^{2} (y) + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x y' \sec^{2} (y) + \tan (y) = \cos (x) - 1$

Этап 5.3.2

Вычтем $\tan (y)$ из обеих частей уравнения.

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

Этап 5.3.3

Выразим $\tan (y)$ через синусы и косинусы.

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Этап 5.3.4

Переведем $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ в $\tan (y)$ .

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

Этап 5.4

Разделим каждый член $x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ на $x \sec^{2} (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ на $x \sec^{2} (y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $\sec^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем множитель $\sec (y)$ из $\sec^{2} (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{x (\sec (y) \sec (y))} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.2

Разделим дроби.

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.3

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (y)}} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.5

Разделим дроби.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.6

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.7

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{1}{x} (1 \cos (y)) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.8

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{x} \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.9

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\cos (y)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.10

Умножим $\frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.10.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (y)}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{x} \cos (y) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.10.2

Объединим $\frac{\cos (x) \cos (y)}{x}$ и $\cos (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \cos (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.10.3

Возведем $\cos (y)$ в степень $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.10.4

Возведем $\cos (y)$ в степень $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.10.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{\cos (x) {\cos (y)}^{1 + 1}}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.10.6

Добавим $1$ и $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.11.1

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.11.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.11.3

Единица в любой степени равна единице.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.12

Объединим $x$ и $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{\frac{x}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.13

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Этап 5.4.3.1.14

Вынесем множитель $\sec (y)$ из $\sec^{2} (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x (\sec (y) \sec (y))}$

Этап 5.4.3.1.15

Разделим дроби.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\sec (y)}$

Этап 5.4.3.1.16

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\frac{1}{\cos (y)}}$

Этап 5.4.3.1.17

Выразим $\tan (y)$ через синусы и косинусы.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\frac{1}{\cos (y)}}$

Этап 5.4.3.1.18

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cos (y))$

Этап 5.4.3.1.19

Запишем $\cos (y)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

Этап 5.4.3.1.20

Сократим общий множитель $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.20.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

Этап 5.4.3.1.20.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \sin (y)$

Этап 5.4.3.1.21

Разделим дроби.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} \sin (y)$

Этап 5.4.3.1.22

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} \sin (y)$

Этап 5.4.3.1.23

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} (1 \cos (y)) \sin (y)$

Этап 5.4.3.1.24

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cos (y) \sin (y)$

Этап 5.4.3.1.25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{1}{x} \cos (y) \sin (y)$

Этап 5.4.3.1.26

Объединим $\cos (y)$ и $\frac{1}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos (y)}{x} \sin (y)$

Этап 5.4.3.1.27

Объединим $\sin (y)$ и $\frac{\cos (y)}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$