Математический анализ Примеры

$y = - \frac{x}{y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{y})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$- \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$- \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $\frac{x}{y}$ на $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Этап 3.6.2

Добавим $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ и $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y' y^{2} = - \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $- \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ в числитель.

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y' y^{2} = - (y - x y')$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' y^{2} = - y - (- x y')$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- (- x y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' y^{2} = - y + 1 (x y')$

Этап 5.2.1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y' y^{2} = - y + x y'$

Этап 5.2.1.4

Изменим порядок $x$ и $y'$ .

$y' y^{2} = - y + y' x$

Этап 5.2.1.5

Изменим порядок $- y$ и $y' x$ .

$y' y^{2} = y' x - y$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y' x$ из обеих частей уравнения.

$y' y^{2} - y' x = - y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2} - y' x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) - y' x = - y$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (- 1 x) = - y$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (y^{2}) + y' (- 1 x)$ .

$y' (y^{2} - 1 x) = - y$

Этап 5.3.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y' (y^{2} - x) = - y$

Этап 5.3.4

Разделим каждый член $y' (y^{2} - x) = - y$ на $y^{2} - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разделим каждый член $y' (y^{2} - x) = - y$ на $y^{2} - x$ .

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Этап 5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $y^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Этап 5.3.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Этап 5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{y^{2} - x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y^{2} - x}$