Математический анализ Примеры

$y = \frac{e^{x}}{1 - e^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 1 - e^{x}$ .

$\frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 3.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + 1 e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 3.5.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 4

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x} e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 5

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x + x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 5.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{e^{x} - e^{x} e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - (e^{x} e^{x}) + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 6.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{x} - e^{x + x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 6.2.1.2.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 6.2.2

Объединим противоположные члены в $e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- e^{2 x}$ и $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} + 0}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$\frac{e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$