Математический анализ Примеры

$y = x^{\cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\cos (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $x^{\cos (x)}$ в виде $e^{\ln (x^{\cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (x)})}]$

Этап 3.1.2

Развернем $\ln (x^{\cos (x)})$ , вынося $\cos (x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (x)}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cos (x) \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x) \ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.5

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.6

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Этап 3.7.2

Объединим $e^{\cos (x) \ln (x)}$ и $\frac{\cos (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} \ln (x) (- \sin (x))$

Этап 3.7.3

Изменим порядок членов.

$- e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$