Математический анализ Примеры

$\cos (2 x) + \sin (x) = 1$ , $[0, 2 π)$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (2 x) + \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.2

Объединим противоположные члены в $1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Этап 2.2.2

Вычтем $2 \sin^{2} (x)$ из $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Этап 3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $- 2 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $- 2 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 6.2.5

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.6

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 6.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 6.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 6.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$π (0)$

Этап 9.1.2

Умножим $π$ на $0$ .

$0$

Этап 9.1.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $0$ .

$x = 0$

Этап 9.2

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

Этап 9.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Этап 9.2.2.1.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Этап 9.2.2.2

Добавим $\frac{π}{6}$ и $0$ .

$\frac{π}{6}$

Этап 9.2.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}$

Этап 9.3

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

Этап 9.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

Этап 9.3.2.1.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Этап 9.3.2.2

Добавим $\frac{5 π}{6}$ и $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Этап 9.3.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{5 π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Этап 9.4

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$π (1)$

Этап 9.4.2

Умножим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9.4.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $π$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, π$