Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x^{2} + 25)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$x^{2} + 25 = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 25$

Этап 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Этап 1.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $- 25$ в виде $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (25)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Этап 1.2.3.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Этап 1.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 5$

Этап 1.2.3.6

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \pm 5 i$

Этап 1.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5 i$

Этап 1.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5 i$

Этап 1.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5 i, - 5 i$

Этап 1.3

Вертикальная асимптота возникает в $x = 5 i, x = - 5 i$ .

Вертикальная асимптота: $x = 5 i, x = - 5 i$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 25)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \ln (1 + 25)$

Этап 2.2.2

Добавим $1$ и $25$ .

$f (1) = \ln (26)$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $\ln (26)$ .

$\ln (26)$

Этап 2.3

Преобразуем $\ln (26)$ в десятичное представление.

$y = 3.25809653$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} + 25)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 25)$

Этап 3.2.2

Добавим $4$ и $25$ .

$f (2) = \ln (29)$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $\ln (29)$ .

$\ln (29)$

Этап 3.3

Преобразуем $\ln (29)$ в десятичное представление.

$y = 3.36729582$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} + 25)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = \ln (9 + 25)$

Этап 4.2.2

Добавим $9$ и $25$ .

$f (3) = \ln (34)$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $\ln (34)$ .

$\ln (34)$

Этап 4.3

Преобразуем $\ln (34)$ в десятичное представление.

$y = 3.52636052$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 5 i, x = - 5 i$ и точек $(1, 3.25809653), (2, 3.36729582), (3, 3.52636052)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 5 i, x = - 5 i$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3.258 \\ 2 & 3.367 \\ 3 & 3.526 \end{array}$

Этап 6