Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x + 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x (x + 2) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4

Вычислим $\frac{x^{2}}{x + 1}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) + 1}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 4.1.2.3

Разделим $0$ на $1$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) + 1}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{4}{- 2 + 1}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\frac{4}{- 1}$

Этап 4.2.2.3

Разделим $4$ на $- 1$ .

$- 4$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{(- 1) + 1}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{0}$

Этап 4.3.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (- 2, - 4)$

Этап 5