Математический анализ Примеры

$y = 2 + 8 x - x^{2}$

Этап 1

Упростим $2 + 8 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $2$ .

$y = 8 x - x^{2} + 2$

Этап 1.2

Изменим порядок $8 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 8 x + 2$

Этап 2

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- x^{2} + 8 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$- 2 x + 8 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 x + 8 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $- 2 x + 8$ и $0$ .

$- 2 x + 8$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x + 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 8$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 8$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 8$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 2$ .

$x = 4$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$ в точке $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = - {(4)}^{2} + 8 (4) + 2$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 8 (4) + 2$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f (4) = - 16 + 8 (4) + 2$

Этап 5.2.1.3

Умножим $8$ на $4$ .

$f (4) = - 16 + 32 + 2$

Этап 5.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 16$ и $32$ .

$f (4) = 16 + 2$

Этап 5.2.2.2

Добавим $16$ и $2$ .

$f (4) = 18$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $18$ .

$18$

Этап 6

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$ : $y = 18$ .

$y = 18$

Этап 7