Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1
Продифференцируем.
Этап 1.1.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2
Найдем значение .
Этап 1.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.3
Умножим на .
Этап 1.1.3
Продифференцируем, используя правило константы.
Этап 1.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.3.2
Добавим и .
Этап 1.2
Первая производная по равна .
Этап 2
Этап 2.1
Пусть первая производная равна .
Этап 2.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.3
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 2.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 2.4.1
Приравняем к .
Этап 2.4.2
Решим относительно .
Этап 2.4.2.1
Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.
Этап 2.4.2.2
Упростим .
Этап 2.4.2.2.1
Перепишем в виде .
Этап 2.4.2.2.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 2.4.2.2.3
Плюс или минус равно .
Этап 2.5
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 2.5.1
Приравняем к .
Этап 2.5.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.6
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 3
Значения, при которых производная равна : .
Этап 4
Разобьем на отдельные интервалы вокруг значений , при которых производная равна или не определена.
Этап 5
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Этап 5.2.1
Упростим каждый член.
Этап 5.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 5.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 5.2.1.4
Умножим на .
Этап 5.2.2
Вычтем из .
Этап 5.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
При производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим каждый член.
Этап 6.2.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 6.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.4
Сократим общий множитель .
Этап 6.2.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 6.2.1.4.2
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.1.4.3
Перепишем это выражение.
Этап 6.2.1.5
Применим правило умножения к .
Этап 6.2.1.6
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.7
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.8
Сократим общий множитель .
Этап 6.2.1.8.1
Вынесем множитель из .
Этап 6.2.1.8.2
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.1.8.3
Перепишем это выражение.
Этап 6.2.1.9
Умножим на .
Этап 6.2.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 6.2.3
Объединим и .
Этап 6.2.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 6.2.5
Упростим числитель.
Этап 6.2.5.1
Умножим на .
Этап 6.2.5.2
Вычтем из .
Этап 6.2.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 6.2.7
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
При производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 7
Этап 7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 7.2
Упростим результат.
Этап 7.2.1
Упростим каждый член.
Этап 7.2.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 7.2.1.1.1
Умножим на .
Этап 7.2.1.1.1.1
Возведем в степень .
Этап 7.2.1.1.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 7.2.1.1.2
Добавим и .
Этап 7.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 7.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 7.2.1.4
Умножим на .
Этап 7.2.2
Вычтем из .
Этап 7.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 7.3
При производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 8
Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.
Возрастание в области:
Убывание на:
Этап 9