Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Этап 1.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{4}{4}$ и $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Этап 1.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Этап 1.1.2.5.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{3} - 4 x$ .

$x^{3} - 4 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{3} - 4 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{3} - 4 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - 2, 2$ .

$0, - 2, 2$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = {(- 3)}^{3} - 4 \cdot - 3$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f' (- 3) = - 27 - 4 \cdot - 3$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = - 27 + 12$

Этап 5.2.2

Добавим $- 27$ и $12$ .

$f' (- 3) = - 15$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 15$ .

$- 15$

Этап 5.3

При $x = - 3$ производная имеет вид $- 15$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 2)$ .

Убывание на $(- \infty, - 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 2, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = - 1 - 4 \cdot - 1$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 + 4$

Этап 6.2.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f' (- 1) = 3$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $3$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 2, 0)$ .

Возрастание в области $(- 2, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = {(1)}^{3} - 4 \cdot 1$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 1 - 4 \cdot 1$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f' (1) = 1 - 4$

Этап 7.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$f' (1) = - 3$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 2)$ .

Убывание на $(0, 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = {(3)}^{3} - 4 \cdot 3$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f' (3) = 27 - 4 \cdot 3$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

Этап 8.2.2

Вычтем $12$ из $27$ .

$f' (3) = 15$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $15$ .

$15$

Этап 8.3

При $x = 3$ производная имеет вид $15$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 2, 0), (2, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 2), (0, 2)$

Этап 10