Математический анализ Примеры

$y = - x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.4.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ и $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 8 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 8 = 0$

Этап 2.2.1.3

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 8)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.2

Запишем $- 2$ как $4$ плюс $- 6$

$- (3 x^{2} + (4 - 6) x - 8) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8) = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4)) = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 4$ .

$- ((3 x + 4) (x - 2)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 x + 4) (x - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $3 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 4$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 x + 4) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $- x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{4}{3}$ вместо $x$ .

$- {(- \frac{4}{3})}^{3} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{3}$ .

${(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{3}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

${(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(- 1)}^{3 + 1} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

${(- 1)}^{4} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $\frac{4^{3}}{3^{3}}$ на $1$ .

$\frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{64}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.6

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{64}{27} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{3}$ .

$\frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$\frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{64}{27} + 1 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.9

Умножим $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$\frac{64}{27} + \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.10

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.12

Умножим $8 (- \frac{4}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.12.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} - 8 (\frac{4}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.12.2

Объединим $- 8$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + 1$

Этап 4.1.2.1.12.3

Умножим $- 8$ на $4$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 32}{3} + 1$

Этап 4.1.2.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 1$

Этап 4.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $\frac{16}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + 1$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{16}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32}{3} + 1$

Этап 4.1.2.2.3

Умножим $\frac{32}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 1$

Этап 4.1.2.2.4

Умножим $\frac{32}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 1$

Этап 4.1.2.2.5

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1}$

Этап 4.1.2.2.6

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.2.7

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.2.8

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.2.9

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64 + 16 \cdot 3 - 32 \cdot 9 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{64 + 48 - 32 \cdot 9 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $- 32$ на $9$ .

$\frac{64 + 48 - 288 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Добавим $64$ и $48$ .

$\frac{112 - 288 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $288$ из $112$ .

$\frac{- 176 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.5.3

Добавим $- 176$ и $27$ .

$\frac{- 149}{27}$

Этап 4.1.2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{149}{27}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$- {(2)}^{3} + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 8 + 4 + 8 (2) + 1$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $8$ на $2$ .

$- 8 + 4 + 16 + 1$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Добавим $- 8$ и $4$ .

$- 4 + 16 + 1$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 4$ и $16$ .

$12 + 1$

Этап 4.2.2.2.3

Добавим $12$ и $1$ .

$13$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- \frac{4}{3}, - \frac{149}{27}), (2, 13)$

Этап 5