Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 4 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} + 12 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$36 x^{2} + 12 (2 x)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $36 x^{2} + 24 x$ .

$36 x^{2} + 24 x$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $36 x^{2} + 24 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$36 x^{2} + 24 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $36 x^{2} + 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12 x$ из $36 x^{2}$ .

$12 x (3 x) + 24 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $24 x$ .

$12 x (3 x) + 12 x (2) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (3 x) + 12 x (2)$ .

$12 x (3 x + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x (3 x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{3}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 3.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $- \frac{2}{3}$ в $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ на $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.5

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3})$

Этап 3.3.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}))$

Этап 3.3.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{2^{3}}{3^{3}})$

Этап 3.3.2.1.9

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{3^{3}})$

Этап 3.3.2.1.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{27})$

Этап 3.3.2.1.11

Умножим $4 (- \frac{8}{27})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.11.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27})$

Этап 3.3.2.1.11.2

Объединим $- 4$ и $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27}$

Этап 3.3.2.1.11.3

Умножим $- 4$ на $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27}$

Этап 3.3.2.1.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27}$

Этап 3.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16 - 32}{27}$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Вычтем $32$ из $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 16}{27}$

Этап 3.3.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{16}{27}$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{16}{27}$ .

$- \frac{16}{27}$

Этап 3.4

Подставляя $- \frac{2}{3}$ в $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ , найдем точку $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{2}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 {(- 0.7\overline{6})}^{2} + 24 (- 0.7\overline{6})$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 0.7\overline{6}$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} + 24 (- 0.7\overline{6})$

Этап 5.2.1.2

Умножим $36$ на $0.58\overline{7}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 + 24 (- 0.7\overline{6})$

Этап 5.2.1.3

Умножим $24$ на $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

Этап 5.2.2

Вычтем $18.4$ из $21.16$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 2.76$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $2.76$ .

$2.76$

Этап 5.3

При $- 0.7\overline{6}$ вторая производная имеет вид $2.76$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{2}{3})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \frac{2}{3}, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 24 (- 0.\overline{3})$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} + 24 (- 0.\overline{3})$

Этап 6.2.1.2

Умножим $36$ на $0.\overline{1}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 + 24 (- 0.\overline{3})$

Этап 6.2.1.3

Умножим $24$ на $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 - 8$

Этап 6.2.2

Вычтем $8$ из $4$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 4$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 6.3

При $- 0.\overline{3}$ вторая производная имеет вид $- 4$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \frac{2}{3}, 0)$ .

Убывание на $(- \frac{2}{3}, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 36 {(0.1)}^{2} + 24 (0.1)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = 36 \cdot 0.01 + 24 (0.1)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $36$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 24 (0.1)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $24$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 2.4$

Этап 7.2.2

Добавим $0.36$ и $2.4$ .

$f'' (0.1) = 2.76$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $2.76$ .

$2.76$

Этап 7.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $2.76$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$

Этап 9