Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 4 x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{(4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(4 x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Умножим $4 x^{2} - 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Добавим $8 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x \cdot x}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.7

Вычтем $8 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 1}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.2.2

По правилу суммы производная $- 4 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.2.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.2.7

Добавим $- 8 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 4 x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (2 (4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.4.2

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.4.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.4.5

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.4.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x + 0))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.1

Добавим $8 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.4.7.2

Перенесем $8$ влево от $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) (8 \cdot ((4 x^{2} - 1) x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.4.7.3

Умножим $8$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 16 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(4 x^{2} - 1)}^{2} x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.2

Перепишем ${(4 x^{2} - 1)}^{2}$ в виде $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3

Развернем $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2} - 1) - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.4.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{2 + 2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{4}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4.1.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 8 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(- 8 (16 x^{4}) - 8 (- 8 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.6.1

Умножим $16$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} - 8 (- 8 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.6.2

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} + 64 x^{2} - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.6.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} + 64 x^{2} - 8) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{4} x + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 (x \cdot x^{4}) + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 (x \cdot x^{4}) + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{1 + 4} + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{1 + 2} - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.9.1

Умножим $- 4$ на $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.9.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.10.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.10.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.10.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.10.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{1 + 2} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.10.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.10.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11

Развернем $(64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3} - x) + 16 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.12.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{2} x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.12.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{3 + 2}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{5}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.3

Умножим $64$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{2} x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.12.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.12.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{3}) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.6

Умножим $64$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.7

Умножим $4$ на $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 64 x^{3} + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.1.8

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 64 x^{3} - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.2

Добавим $- 64 x^{3}$ и $64 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 0 - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.12.3

Добавим $256 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.2

Добавим $- 128 x^{5}$ и $256 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.3

Вычтем $16 x$ из $- 8 x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{5} + 64 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.1

Вынесем множитель $8 x$ из $128 x^{5} + 64 x^{3} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.1.1

Вынесем множитель $8 x$ из $128 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 64 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.1.2

Вынесем множитель $8 x$ из $64 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2}) - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.1.3

Вынесем множитель $8 x$ из $- 24 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.1.4

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.1.5

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 8 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + 8 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 16 \cdot - 3 = - 48$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.4.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 u$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + 8 (u) - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.4.1.2

Запишем $8$ как $- 4$ плюс $12$

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + (- 4 + 12) u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} - 4 u + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f'' (x) = \frac{8 x ((16 u^{2} - 4 u) + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f'' (x) = \frac{8 x (4 u (4 u - 1) + 3 (4 u - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((4 u - 1) (4 u + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.6

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (({(2 x)}^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.7

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.5.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.5.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1^{2})}^{4}}$

Этап 1.2.5.5.3

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{((2 x + 1) (2 x - 1))}^{4}}$

Этап 1.2.5.5.4

Применим правило умножения к $(2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.6

Сократим общий множитель $2 x + 1$ и ${(2 x + 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.6.1

Вынесем множитель $2 x + 1$ из $8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.6.2.1

Вынесем множитель $2 x + 1$ из ${(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

Этап 1.2.5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

Этап 1.2.5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.7

Сократим общий множитель $2 x - 1$ и ${(2 x - 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.7.1

Вынесем множитель $2 x - 1$ из $(8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.7.2.1

Вынесем множитель $2 x - 1$ из ${(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

Этап 1.2.5.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

Этап 1.2.5.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(8 x) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$8 x (4 x^{2} + 3) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $4 x^{2} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $4 x^{2} + 3$ к $0$ .

$4 x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $4 x^{2} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} = - 3$

Этап 2.3.3.2.2

Разделим каждый член $4 x^{2} = - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = - 3$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Этап 2.3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Этап 2.3.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Этап 2.3.3.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1

Перепишем $- \frac{3}{4}$ в виде ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Этап 2.3.3.2.4.1.2

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $3$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Этап 2.3.3.2.4.1.3

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 2.3.3.2.4.1.4

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Этап 2.3.3.2.4.1.5

Перепишем $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ в виде ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Этап 2.3.3.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4.3

Объединим $\frac{i}{2}$ и $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.3.3.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.3.3.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.3.3.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $8 x (4 x^{2} + 3) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4 {(0)}^{2} - 1}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4 \cdot 0 - 1}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

Этап 3.1.2.1.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $0$ на $- 1$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{8 (- 0.1) (4 {(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $8$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.8 (4 {(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 0.8$ на $4 {(- 0.1)}^{2} + 3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $2$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{(- 0.2 + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 0.2$ и $1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Умножим $2$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(- 0.2 - 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2.4

Вычтем $1$ из $- 0.2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(- 1.2)}^{3}}$

Этап 5.2.2.5

Возведем $0.8$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{0.512 {(- 1.2)}^{3}}$

Этап 5.2.2.6

Возведем $- 1.2$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{0.512 \cdot - 1.728}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $0.512$ на $- 1.728$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{- 0.884736}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $- 2.432$ на $- 0.884736$ .

$f'' (- 0.1) = 2.74884259$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $2.74884259$ .

$2.74884259$

Этап 5.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $2.74884259$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{8 (0.1) (4 {(0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $8$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.8 (4 \cdot {0.1}^{2} + 3)}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $0.8$ на $4 \cdot {0.1}^{2} + 3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $2$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{(0.2 + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0.2$ и $1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Умножим $2$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(0.2 - 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2.4

Вычтем $1$ из $0.2$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(- 0.8)}^{3}}$

Этап 6.2.2.5

Возведем $1.2$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{1.728 {(- 0.8)}^{3}}$

Этап 6.2.2.6

Возведем $- 0.8$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{1.728 \cdot - 0.512}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $1.728$ на $- 0.512$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{- 0.884736}$

Этап 6.2.3.2

Разделим $2.432$ на $- 0.884736$ .

$f'' (0.1) = - 2.74884259$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 2.74884259$ .

$- 2.74884259$

Этап 6.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $- 2.74884259$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 8