Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.6.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.6.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.6.3.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.1.6.3.2.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Этап 2.2.2

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.2.3.3

Умножим ${(x^{2} + 3)}^{2}$ на $1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.2.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.2.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.2.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.6.2

Сократим общий множитель.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.6.3

Перепишем это выражение.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$6 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.16

Объединим $6$ и $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.17.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.17.2.1

Умножим $- 3$ на $6$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.2.17.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 18 x^{2} + 18 = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$- 18 x^{2} = - 18$

Этап 3.3.2

Разделим каждый член $- 18 x^{2} = - 18$ на $- 18$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разделим каждый член $- 18 x^{2} = - 18$ на $- 18$ .

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 18}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Разделим $- 18$ на $- 18$ .

$x^{2} = 1$

Этап 3.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 3.3.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ в $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{1^{2} + 3}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{1 + 3}$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (1) = \frac{1}{4}$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 4.2

Подставляя $1$ в $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ , найдем точку $(1, \frac{1}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(1, \frac{1}{4})$

Этап 4.3

Подставим $- 1$ в $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Этап 4.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1 + 3}$

Этап 4.3.2.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4}$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 4.4

Подставляя $- 1$ в $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ , найдем точку $(- 1, \frac{1}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1, \frac{1}{4})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(1, \frac{1}{4}), (- 1, \frac{1}{4})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 {(- 1.1)}^{2} + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 18$ на $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 6.2.1.3

Добавим $- 21.78$ и $18$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 1.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $1.21$ и $3$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $4.21$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

Этап 6.2.3

Разделим $- 3.78$ на $74.618461$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.0506577$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 0.0506577$ .

$- 0.0506577$

Этап 6.3

При $- 1.1$ вторая производная имеет вид $- 0.0506577$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 18$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 7.2.1.3

Добавим $0$ и $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{3^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{27}$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $18$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{27}$

Этап 7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{2}{3}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 7.3

При $0$ вторая производная имеет вид $0.\overline{6}$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 1, 1)$ .

Возрастание в области $(- 1, 1)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.1$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 18 {(1.1)}^{2} + 18}{{({(1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $1.1$ в степень $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 18$ на $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 8.2.1.3

Добавим $- 21.78$ и $18$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $1.1$ в степень $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

Этап 8.2.2.2

Добавим $1.21$ и $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $4.21$ в степень $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

Этап 8.2.3

Разделим $- 3.78$ на $74.618461$ .

$f'' (1.1) = - 0.0506577$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- 0.0506577$ .

$- 0.0506577$

Этап 8.3

При $1.1$ вторая производная имеет вид $- 0.0506577$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(1, \infty)$ .

Убывание на $(1, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$ .

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Этап 10