Математический анализ Примеры

$- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

Этап 1

Запишем $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ в виде функции.

$f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{6}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $42$ является константой относительно $x$ , производная $42 x^{5}$ по $x$ равна $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 x^{5} + 42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 6 x^{5} + 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $5$ на $42$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 42$ является константой относительно $x$ , производная $- 42 x$ по $x$ равна $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 2.1.4.3

Умножим $- 42$ на $1$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 2.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Поскольку $19$ является константой относительно $x$ , производная $19$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + 0$

Этап 2.1.5.2

Добавим $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ и $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{5}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $5$ на $- 6$ .

$- 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $210$ является константой относительно $x$ , производная $210 x^{4}$ по $x$ равна $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 30 x^{4} + 210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 30 x^{4} + 210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 2.2.3.3

Умножим $4$ на $210$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $- 42$ является константой относительно $x$ , производная $- 42$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 840 x^{3}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 30 x^{3}$ из $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 30 x^{3}$ из $- 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{3} x + 840 x^{3} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $- 30 x^{3}$ из $840 x^{3}$ .

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 28 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $- 30 x^{3}$ из $- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 28)$ .

$- 30 x^{3} (x - 28) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 28 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 3.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 28$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 28$ к $0$ .

$x - 28 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $28$ к обеим частям уравнения.

$x = 28$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 30 x^{3} (x - 28) = 0$ верно.

$x = 0, 28$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - {(0)}^{6} + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 42 \cdot 0 - 42 \cdot 0 + 19$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $42$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 42 \cdot 0 + 19$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- 42$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 19$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 19$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 19$

Этап 4.1.2.2.3

Добавим $0$ и $19$ .

$f (0) = 19$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $19$ .

$19$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ , найдем точку $(0, 19)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 19)$

Этап 4.3

Подставим $28$ в $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $28$ .

$f (28) = - {(28)}^{6} + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $28$ в степень $6$ .

$f (28) = - 1 \cdot 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $481890304$ .

$f (28) = - 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $28$ в степень $5$ .

$f (28) = - 481890304 + 42 \cdot 17210368 - 42 \cdot 28 + 19$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $42$ на $17210368$ .

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 42 \cdot 28 + 19$

Этап 4.3.2.1.5

Умножим $- 42$ на $28$ .

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 1176 + 19$

Этап 4.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Добавим $- 481890304$ и $722835456$ .

$f (28) = 240945152 - 1176 + 19$

Этап 4.3.2.2.2

Вычтем $1176$ из $240945152$ .

$f (28) = 240943976 + 19$

Этап 4.3.2.2.3

Добавим $240943976$ и $19$ .

$f (28) = 240943995$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $240943995$ .

$240943995$

Этап 4.4

Подставляя $28$ в $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ , найдем точку $(28, 240943995)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(28, 240943995)$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 19), (28, 240943995)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, 28) \cup (28, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.1$ в степень $4$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 30$ на $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 0.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 \cdot - 0.001$

Этап 6.2.1.4

Умножим $840$ на $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.84$

Этап 6.2.2

Вычтем $0.84$ из $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.843$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.843$ .

$- 0.843$

Этап 6.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.843$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 28)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $14$ .

$f'' (14) = - 30 {(14)}^{4} + 840 {(14)}^{3}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $14$ в степень $4$ .

$f'' (14) = - 30 \cdot 38416 + 840 {(14)}^{3}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 30$ на $38416$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 840 {(14)}^{3}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $14$ в степень $3$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 840 \cdot 2744$

Этап 7.2.1.4

Умножим $840$ на $2744$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 2304960$

Этап 7.2.2

Добавим $- 1152480$ и $2304960$ .

$f'' (14) = 1152480$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $1152480$ .

$1152480$

Этап 7.3

При $14$ вторая производная имеет вид $1152480$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, 28)$ .

Возрастание в области $(0, 28)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(28, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $28.1$ .

$f'' (28.1) = - 30 {(28.1)}^{4} + 840 {(28.1)}^{3}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $28.1$ в степень $4$ .

$f'' (28.1) = - 30 \cdot 623483.9521 + 840 {(28.1)}^{3}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 30$ на $623483.9521$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 {(28.1)}^{3}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $28.1$ в степень $3$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 \cdot 22188.041$

Этап 8.2.1.4

Умножим $840$ на $22188.041$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 18637954.44$

Этап 8.2.2

Добавим $- 18704518.563$ и $18637954.44$ .

$f'' (28.1) = - 66564.123$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 66564.123$ .

$- 66564.123$

Этап 8.3

При $28.1$ вторая производная имеет вид $- 66564.123$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(28, \infty)$ .

Убывание на $(28, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(0, 19), (28, 240943995)$ .

$(0, 19), (28, 240943995)$

Этап 10