Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Этап 2.1
Найдем первую производную.
Этап 2.1.1
Продифференцируем.
Этап 2.1.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2
Найдем значение .
Этап 2.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.3
Умножим на .
Этап 2.2
Найдем вторую производную.
Этап 2.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.2.2
Найдем значение .
Этап 2.2.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.2.3
Умножим на .
Этап 2.2.3
Найдем значение .
Этап 2.2.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.3.3
Умножим на .
Этап 2.3
Вторая производная по равна .
Этап 3
Этап 3.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 3.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 3.3
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 3.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 3.3.2
Упростим левую часть.
Этап 3.3.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 3.3.3
Упростим правую часть.
Этап 3.3.3.1
Сократим общий множитель и .
Этап 3.3.3.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.3.1.2
Сократим общие множители.
Этап 3.3.3.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.3.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.3.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.4
Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.
Этап 3.5
Упростим .
Этап 3.5.1
Перепишем в виде .
Этап 3.5.2
Любой корень из равен .
Этап 3.5.3
Умножим на .
Этап 3.5.4
Объединим и упростим знаменатель.
Этап 3.5.4.1
Умножим на .
Этап 3.5.4.2
Возведем в степень .
Этап 3.5.4.3
Возведем в степень .
Этап 3.5.4.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.5.4.5
Добавим и .
Этап 3.5.4.6
Перепишем в виде .
Этап 3.5.4.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.5.4.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.5.4.6.3
Объединим и .
Этап 3.5.4.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 3.5.4.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.5.4.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.5.4.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 3.6
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 3.6.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 3.6.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 3.6.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 4
Этап 4.1
Подставим в , чтобы найти значение .
Этап 4.1.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 4.1.2
Упростим результат.
Этап 4.1.2.1
Упростим каждый член.
Этап 4.1.2.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 4.1.2.1.2
Упростим числитель.
Этап 4.1.2.1.2.1
Перепишем в виде .
Этап 4.1.2.1.2.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.1.2.1.2.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.1.2.1.2.1.3
Объединим и .
Этап 4.1.2.1.2.1.4
Сократим общий множитель и .
Этап 4.1.2.1.2.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.2.1.2.1.4.2
Сократим общие множители.
Этап 4.1.2.1.2.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.2.1.2.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.1.2.1.2.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.1.2.1.2.1.4.2.4
Разделим на .
Этап 4.1.2.1.2.2
Возведем в степень .
Этап 4.1.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 4.1.2.1.4
Сократим общий множитель и .
Этап 4.1.2.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.2.1.4.2
Сократим общие множители.
Этап 4.1.2.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.2.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.1.2.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.1.2.1.5
Применим правило умножения к .
Этап 4.1.2.1.6
Перепишем в виде .
Этап 4.1.2.1.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.1.2.1.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.1.2.1.6.3
Объединим и .
Этап 4.1.2.1.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 4.1.2.1.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.1.2.1.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.1.2.1.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 4.1.2.1.7
Возведем в степень .
Этап 4.1.2.1.8
Сократим общий множитель и .
Этап 4.1.2.1.8.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.2.1.8.2
Сократим общие множители.
Этап 4.1.2.1.8.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.2.1.8.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.1.2.1.8.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.1.2.1.9
Объединим и .
Этап 4.1.2.1.10
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.1.2.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.1.2.3
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 4.1.2.3.1
Умножим на .
Этап 4.1.2.3.2
Умножим на .
Этап 4.1.2.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.1.2.5
Упростим числитель.
Этап 4.1.2.5.1
Умножим на .
Этап 4.1.2.5.2
Вычтем из .
Этап 4.1.2.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.1.2.7
Окончательный ответ: .
Этап 4.2
Подставляя в , найдем точку . Эта точка может быть точкой перегиба.
Этап 4.3
Подставим в , чтобы найти значение .
Этап 4.3.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 4.3.2
Упростим результат.
Этап 4.3.2.1
Упростим каждый член.
Этап 4.3.2.1.1
Применим правило степени для распределения показателей.
Этап 4.3.2.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 4.3.2.1.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 4.3.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 4.3.2.1.3
Умножим на .
Этап 4.3.2.1.4
Упростим числитель.
Этап 4.3.2.1.4.1
Перепишем в виде .
Этап 4.3.2.1.4.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.2.1.4.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.3.2.1.4.1.3
Объединим и .
Этап 4.3.2.1.4.1.4
Сократим общий множитель и .
Этап 4.3.2.1.4.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.2.1.4.1.4.2
Сократим общие множители.
Этап 4.3.2.1.4.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.2.1.4.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.2.1.4.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.2.1.4.1.4.2.4
Разделим на .
Этап 4.3.2.1.4.2
Возведем в степень .
Этап 4.3.2.1.5
Возведем в степень .
Этап 4.3.2.1.6
Сократим общий множитель и .
Этап 4.3.2.1.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.2.1.6.2
Сократим общие множители.
Этап 4.3.2.1.6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.2.1.6.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.2.1.6.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.2.1.7
Применим правило степени для распределения показателей.
Этап 4.3.2.1.7.1
Применим правило умножения к .
Этап 4.3.2.1.7.2
Применим правило умножения к .
Этап 4.3.2.1.8
Возведем в степень .
Этап 4.3.2.1.9
Умножим на .
Этап 4.3.2.1.10
Перепишем в виде .
Этап 4.3.2.1.10.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.2.1.10.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.3.2.1.10.3
Объединим и .
Этап 4.3.2.1.10.4
Сократим общий множитель .
Этап 4.3.2.1.10.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.2.1.10.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.2.1.10.5
Найдем экспоненту.
Этап 4.3.2.1.11
Возведем в степень .
Этап 4.3.2.1.12
Сократим общий множитель и .
Этап 4.3.2.1.12.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.2.1.12.2
Сократим общие множители.
Этап 4.3.2.1.12.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.2.1.12.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.2.1.12.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.2.1.13
Объединим и .
Этап 4.3.2.1.14
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.3.2.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.3.2.3
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 4.3.2.3.1
Умножим на .
Этап 4.3.2.3.2
Умножим на .
Этап 4.3.2.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.2.5
Упростим числитель.
Этап 4.3.2.5.1
Умножим на .
Этап 4.3.2.5.2
Вычтем из .
Этап 4.3.2.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.3.2.7
Окончательный ответ: .
Этап 4.4
Подставляя в , найдем точку . Эта точка может быть точкой перегиба.
Этап 4.5
Определим точки, которые могут быть точками перегиба.
Этап 5
Разобьем на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим каждый член.
Этап 6.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.2
Вычтем из .
Этап 6.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
При вторая производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 7
Этап 7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 7.2
Упростим результат.
Этап 7.2.1
Упростим каждый член.
Этап 7.2.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 7.2.1.2
Умножим на .
Этап 7.2.2
Вычтем из .
Этап 7.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 7.3
При вторая производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 8
Этап 8.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 8.2
Упростим результат.
Этап 8.2.1
Упростим каждый член.
Этап 8.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 8.2.1.2
Умножим на .
Этап 8.2.2
Вычтем из .
Этап 8.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 8.3
При вторая производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 9
Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: .
Этап 10