Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2} + 7}$ в виде ${(x^{2} + 7)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 7$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + 0)$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x)$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 7)}^{- 2} x$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Этап 1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Этап 1.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Этап 1.1.4.2.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.4.2.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Этап 1.2.3.3

Умножим ${(x^{2} + 7)}^{2}$ на $1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Этап 1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Этап 1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Этап 1.2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Этап 1.2.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из ${(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из ${(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Этап 1.2.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $- 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Этап 1.2.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Этап 1.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из ${(x^{2} + 7)}^{4}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.6.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.6.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.9

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 2 \frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.16

Объединим $- 2$ и $\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.18.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.2.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.18.2.2

Умножим $2$ на $7$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.18.3

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2} + 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.18.3.2

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.18.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.18.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5

Перепишем $7$ в виде $- 1 (- 7)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (- 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.18.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (- 7)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.18.7

Перепишем $- (3 x^{2} - 7)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 7)$ .

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.18.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.18.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.2.18.10

Умножим $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 (3 x^{2} - 7) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 7$ на $1$ .

$3 x^{2} - 7 = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$3 x^{2} - 7 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 7$

Этап 2.3.3

Разделим каждый член $3 x^{2} = 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 7$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 2.3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{3}$

Этап 2.3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Этап 2.3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{7}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.5.2

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.5.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.5.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.5.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.3.5.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.5.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.3.5.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.5.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.3.5.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

Этап 2.3.5.4.2

Умножим $7$ на $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Этап 2.3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Этап 2.3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Этап 2.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{\sqrt{21}}{3}$ в $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.1.2

Перепишем ${\sqrt{21}}^{2}$ в виде $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{21}$ в виде $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.1.2.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Этап 3.1.2.1.4

Сократим общий множитель $21$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Этап 3.1.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Этап 3.1.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Этап 3.1.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Этап 3.1.2.1.5

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.1.2.1.6

Объединим $7$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.1.2.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.1.2.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.8.1

Умножим $7$ на $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Этап 3.1.2.1.8.2

Добавим $7$ и $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Этап 3.1.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Этап 3.1.2.3

Умножим $\frac{3}{28}$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Этап 3.2

Подставляя $\frac{\sqrt{21}}{3}$ в $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ , найдем точку $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Этап 3.3

Подставим $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ в $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{21}}^{2}$ в виде $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{21}$ в виде $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Этап 3.3.2.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Этап 3.3.2.1.6

Сократим общий множитель $21$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Этап 3.3.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Этап 3.3.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Этап 3.3.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Этап 3.3.2.1.7

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.3.2.1.8

Объединим $7$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.3.2.1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.3.2.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.10.1

Умножим $7$ на $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Этап 3.3.2.1.10.2

Добавим $7$ и $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Этап 3.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Этап 3.3.2.3

Умножим $\frac{3}{28}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Этап 3.3.2.4

Окончательный ответ: $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Этап 3.4

Подставляя $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ в $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ , найдем точку $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.62752523$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 {(- 1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1.62752523$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $2.64883837$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 5.2.1.3

Вычтем $7$ из $7.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 1.62752523$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $2.64883837$ и $7$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $9.64883837$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $0.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $1.89303027$ на $898.30764509$ .

$f'' (- 1.62752523) = 0.00210732$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $0.00210732$ .

$0.00210732$

Этап 5.3

При $- 1.62752523$ вторая производная имеет вид $0.00210732$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 7)}{{({(0)}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 6.2.1.3

Вычтем $7$ из $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0 + 7)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $7$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{7^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{343}$

Этап 6.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $2$ на $- 7$ .

$f'' (0) = \frac{- 14}{343}$

Этап 6.2.3.2

Сократим общий множитель $- 14$ и $343$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $7$ из $- 14$ .

$f'' (0) = \frac{7 (- 2)}{343}$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $7$ из $343$ .

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Этап 6.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Этап 6.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{- 2}{49}$

Этап 6.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (0) = - \frac{2}{49}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{2}{49}$ .

$- \frac{2}{49}$

Этап 6.3

При $0$ вторая производная имеет вид $- 0.04081632$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Убывание на $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.62752523$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 {(1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $1.62752523$ в степень $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $2.64883837$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 7.2.1.3

Вычтем $7$ из $7.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $1.62752523$ в степень $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $2.64883837$ и $7$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $9.64883837$ в степень $3$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $2$ на $0.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Этап 7.2.3.2

Разделим $1.89303027$ на $898.30764509$ .

$f'' (1.62752523) = 0.00210732$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $0.00210732$ .

$0.00210732$

Этап 7.3

При $1.62752523$ вторая производная имеет вид $0.00210732$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ .

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Этап 9