Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем вторую производную.
Этап 1.1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.1.2
Продифференцируем.
Этап 1.1.1.2.1
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.1.2.2
Перенесем влево от .
Этап 1.1.1.2.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.1.2.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.1.2.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.1.2.6
Упростим выражение.
Этап 1.1.1.2.6.1
Добавим и .
Этап 1.1.1.2.6.2
Умножим на .
Этап 1.1.1.3
Возведем в степень .
Этап 1.1.1.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.1.5
Добавим и .
Этап 1.1.1.6
Упростим.
Этап 1.1.1.6.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.1.6.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.1.6.3
Упростим числитель.
Этап 1.1.1.6.3.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.1.6.3.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.1.6.3.1.1.1
Перенесем .
Этап 1.1.1.6.3.1.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.1.6.3.1.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.1.1.6.3.1.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.1.6.3.1.1.3
Добавим и .
Этап 1.1.1.6.3.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.1.6.3.2
Объединим противоположные члены в .
Этап 1.1.1.6.3.2.1
Вычтем из .
Этап 1.1.1.6.3.2.2
Добавим и .
Этап 1.1.2
Найдем вторую производную.
Этап 1.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.2.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.2.3
Продифференцируем, используя правило степени.
Этап 1.1.2.3.1
Перемножим экспоненты в .
Этап 1.1.2.3.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.1.2.3.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.3.3
Умножим на .
Этап 1.1.2.4
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.2.4.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.2.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.4.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.1.2.5
Упростим с помощью разложения.
Этап 1.1.2.5.1
Умножим на .
Этап 1.1.2.5.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.5.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.5.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.5.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.6
Сократим общие множители.
Этап 1.1.2.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.6.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.2.6.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.1.2.7
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.9
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.2.10
Упростим выражение.
Этап 1.1.2.10.1
Добавим и .
Этап 1.1.2.10.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.11
Возведем в степень .
Этап 1.1.2.12
Возведем в степень .
Этап 1.1.2.13
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.2.14
Добавим и .
Этап 1.1.2.15
Вычтем из .
Этап 1.1.2.16
Объединим и .
Этап 1.1.2.17
Упростим.
Этап 1.1.2.17.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.17.2
Упростим каждый член.
Этап 1.1.2.17.2.1
Умножим на .
Этап 1.1.2.17.2.2
Умножим на .
Этап 1.1.3
Вторая производная по равна .
Этап 1.2
Приравняем вторую производную к , затем найдем решение уравнения .
Этап 1.2.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 1.2.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 1.2.3
Решим уравнение относительно .
Этап 1.2.3.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.2.3.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 1.2.3.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 1.2.3.2.2
Упростим левую часть.
Этап 1.2.3.2.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 1.2.3.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.3.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 1.2.3.2.3
Упростим правую часть.
Этап 1.2.3.2.3.1
Разделим на .
Этап 1.2.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 1.2.3.4
Любой корень из равен .
Этап 1.2.3.5
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 1.2.3.5.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 1.2.3.5.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 1.2.3.5.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2
Этап 2.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 2.2
Решим относительно .
Этап 2.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 2.2.3
Упростим .
Этап 2.2.3.1
Перепишем в виде .
Этап 2.2.3.2
Перепишем в виде .
Этап 2.2.3.3
Перепишем в виде .
Этап 2.2.4
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2.2.4.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 2.2.4.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 2.2.4.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2.3
Область определения ― все вещественные числа.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 3
Создадим интервалы вокруг значений , в которых вторая производная равна нулю или не определена.
Этап 4
Этап 4.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 4.2
Упростим результат.
Этап 4.2.1
Упростим числитель.
Этап 4.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 4.2.1.2
Умножим на .
Этап 4.2.1.3
Добавим и .
Этап 4.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 4.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 4.2.2.2
Добавим и .
Этап 4.2.2.3
Возведем в степень .
Этап 4.2.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 4.3
График вогнут вниз на интервале , поскольку имеет отрицательное значение.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Этап 5
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Этап 5.2.1
Упростим числитель.
Этап 5.2.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 5.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.2.1.3
Добавим и .
Этап 5.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 5.2.2.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 5.2.2.2
Добавим и .
Этап 5.2.2.3
Возведем в степень .
Этап 5.2.3
Сократим общий множитель и .
Этап 5.2.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.3.2
Сократим общие множители.
Этап 5.2.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.2.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим числитель.
Этап 6.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.1.3
Добавим и .
Этап 6.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 6.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.2.2
Добавим и .
Этап 6.2.2.3
Возведем в степень .
Этап 6.2.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 6.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
График вогнут вниз на интервале , поскольку имеет отрицательное значение.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Этап 7
График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Этап 8