Математический анализ Примеры

Использовать определение предела для вычисления производной x^3
Этап 1
Рассмотрим определение производной на основе предела.
Этап 2
Найдем компоненты определения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Найдем значение функции в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 2.1.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.1
Воспользуемся бином Ньютона.
Этап 2.1.2.2
Окончательный ответ: .
Этап 2.2
Упорядочим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Перенесем .
Этап 2.2.2
Перенесем .
Этап 2.2.3
Перенесем .
Этап 2.2.4
Перенесем .
Этап 2.2.5
Изменим порядок и .
Этап 2.3
Найдем компоненты определения.
Этап 3
Подставим компоненты.
Этап 4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Вычтем из .
Этап 4.1.2
Добавим и .
Этап 4.1.3
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.3.4
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.3.5
Вынесем множитель из .
Этап 4.2
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.2.1.2
Разделим на .
Этап 4.2.2
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.1
Перенесем .
Этап 4.2.2.2
Перенесем .
Этап 4.2.2.3
Изменим порядок и .
Этап 5
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 6
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 7
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 8
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 9
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 10
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1.1.1
Умножим на .
Этап 10.1.1.2
Умножим на .
Этап 10.1.2
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 10.2
Объединим противоположные члены в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.1
Добавим и .
Этап 10.2.2
Добавим и .
Этап 11