Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Этап 4.2.2.5

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ в $e$ и в $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

Этап 6.2

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $e$ и в $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.2

Умножим $\ln (1)$ на $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 6.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 6.3.6

Чтобы записать $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Этап 6.3.7

Объединим $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Этап 6.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (e) e^{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Этап 6.3.9

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Этап 6.3.10

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 3}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Этап 6.3.11

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Этап 6.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Этап 6.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Этап 6.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Этап 6.3.11.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{1 e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Этап 7.2.2

Умножим $e^{3}$ на $1$ .

$\frac{e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Этап 7.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} - - \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

Этап 7.2.4

Умножим $- - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + 1 (\frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

Этап 7.2.5

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - 0}{3}$

Этап 7.2.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} + 0}{3}$

Этап 7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{3} + \frac{- e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Этап 7.5

Чтобы записать $e^{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Этап 7.6

Объединим $e^{3}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Этап 7.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Этап 7.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3} + 1}{3}}{3}$

Этап 7.9

Перенесем $3$ влево от $e^{3}$ .

$\frac{\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{3}}{3}$

Этап 7.10

Вычтем $e^{3}$ из $3 e^{3}$ .

$\frac{\frac{2 e^{3} + 1}{3}}{3}$

Этап 7.11

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 7.12

Умножим $\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.1

Умножим $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Этап 7.12.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Десятичная форма:

$4.57456376 \dots$