Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{- 1} 2 x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{- 2}^{- 1} x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

Этап 2

Пусть $u = 4 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 4 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 2.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - {(- 2)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$u_{lower} = 4 - 1 \cdot 4$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Этап 2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - {(- 1)}^{2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Этап 2.5.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1 + 2}$

Этап 2.5.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{3}$

Этап 2.5.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 3.2

Объединим $u^{3}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{3} - \frac{u^{3}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Этап 7.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{3})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{3})$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{u^{4}}{4}$ в $3$ и в $0$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 10.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4})$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Этап 10.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 10.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 10.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1})$

Этап 10.2.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 0)$

Этап 10.2.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (\frac{81}{4} + 0)$

Этап 10.2.5

Добавим $\frac{81}{4}$ и $0$ .

$- \frac{81}{4}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{81}{4}$

Десятичная форма:

$- 20.25$

Форма смешанных чисел:

$- 20 \frac{1}{4}$

Этап 12