Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} 3 t^{2} + 7 d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} 3 t^{2} d t + \int_{1}^{3} 7 d t$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{1}^{3} t^{2} d t + \int_{1}^{3} 7 d t$

Этап 3

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 7 d t$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$3 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 7 d t$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 7 t]_{1}^{3}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{t^{3}}{3}$ в $3$ и в $1$ .

$3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 7 t]_{1}^{3}$

Этап 6.2

Найдем значение $7 t$ в $3$ и в $1$ .

$3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$3 (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$3 (9 - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$3 (9 - \frac{1}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.4

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.5

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.1

Умножим $9$ на $3$ .

$3 \frac{27 - 1}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.7.2

Вычтем $1$ из $27$ .

$3 (\frac{26}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.8

Объединим $3$ и $\frac{26}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.9

Умножим $3$ на $26$ .

$\frac{78}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.10

Сократим общий множитель $78$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.10.1

Вынесем множитель $3$ из $78$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3 (1)} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 26}{3 \cdot 1} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{26}{1} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.10.2.4

Разделим $26$ на $1$ .

$26 + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.11

Умножим $7$ на $3$ .

$26 + 21 - 7 \cdot 1$

Этап 6.3.12

Умножим $- 7$ на $1$ .

$26 + 21 - 7$

Этап 6.3.13

Вычтем $7$ из $21$ .

$26 + 14$

Этап 6.3.14

Добавим $26$ и $14$ .

$40$

Этап 7