Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} 3 x^{5} - 2 x^{3} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 3 x^{5} d x + \int_{1}^{2} - 2 x^{3} d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{1}^{2} x^{5} d x + \int_{1}^{2} - 2 x^{3} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$3 (\frac{1}{6} x^{6}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x^{3} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$3 (\frac{x^{6}}{6}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x^{3} d x$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{6}}{6}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{3} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{6}}{6}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{6}}{6}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{x^{6}}{6}$ в $2$ и в $1$ .

$3 ((\frac{2^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $2$ и в $1$ .

$3 (\frac{2^{6}}{6} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $2$ в степень $6$ .

$3 (\frac{64}{6} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.2

Сократим общий множитель $64$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$3 (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$3 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{32}{3} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{32}{3} - \frac{1}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.4

Чтобы записать $\frac{32}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.5.1

Умножим $\frac{32}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$3 (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{32 \cdot 2 - 1}{6} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.7.1

Умножим $32$ на $2$ .

$3 \frac{64 - 1}{6} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.7.2

Вычтем $1$ из $64$ .

$3 (\frac{63}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.8

Сократим общий множитель $63$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.8.1

Вынесем множитель $3$ из $63$ .

$3 \frac{3 (21)}{6} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{21}{2}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.9

Объединим $3$ и $\frac{21}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 21}{2} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.10

Умножим $3$ на $21$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.11

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.12

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.12.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.12.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{63}{2} - 2 (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.13

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{63}{2} - 2 (4 - \frac{1}{4})$

Этап 7.2.3.14

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{63}{2} - 2 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Этап 7.2.3.15

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Этап 7.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{63}{2} - 2 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Этап 7.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.17.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{63}{2} - 2 \frac{16 - 1}{4}$

Этап 7.2.3.17.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{15}{4})$

Этап 7.2.3.18

Объединим $- 2$ и $\frac{15}{4}$ .

$\frac{63}{2} + \frac{- 2 \cdot 15}{4}$

Этап 7.2.3.19

Умножим $- 2$ на $15$ .

$\frac{63}{2} + \frac{- 30}{4}$

Этап 7.2.3.20

Сократим общий множитель $- 30$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.20.1

Вынесем множитель $2$ из $- 30$ .

$\frac{63}{2} + \frac{2 (- 15)}{4}$

Этап 7.2.3.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{63}{2} + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.20.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{63}{2} + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.20.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{63}{2} + \frac{- 15}{2}$

Этап 7.2.3.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{63}{2} - \frac{15}{2}$

Этап 7.2.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{63 - 15}{2}$

Этап 7.2.3.23

Вычтем $15$ из $63$ .

$\frac{48}{2}$

Этап 7.2.3.24

Сократим общий множитель $48$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.24.1

Вынесем множитель $2$ из $48$ .

$\frac{2 \cdot 24}{2}$

Этап 7.2.3.24.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.24.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

Этап 7.2.3.24.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.24.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{24}{1}$

Этап 7.2.3.24.2.4

Разделим $24$ на $1$ .

$24$

Этап 8