Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Этап 2

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем значение $x \sin (x)$ в $π$ и в $0$ .

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Этап 3.1.2

Найдем значение $- \cos (x)$ в $π$ и в $0$ .

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим $0$ на $\sin (0)$ .

$π \sin (π) + 0 - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Этап 3.1.3.2

Добавим $π \sin (π)$ и $0$ .

$π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0))$

Этап 3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$π \sin (π) - (- \cos (π) + 1)$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$π \sin (0) - (- \cos (π) + 1)$

Этап 3.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1)$

Этап 3.3.3

Умножим $π$ на $0$ .

$0 - (- \cos (π) + 1)$

Этап 3.3.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$0 - (- - \cos (0) + 1)$

Этап 3.3.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Этап 3.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - (- - 1 + 1)$

Этап 3.3.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 - (1 + 1)$

Этап 3.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$0 - 1 \cdot 2$

Этап 3.3.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 - 2$

Этап 3.3.10

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$