Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} 8 x e^{x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{0}^{2} x e^{x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Этап 2.1.4.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Этап 2.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{2^{2}}$

Этап 2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{upper} = e^{4}$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{4}$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$8 \int_{1}^{e^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{4}})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u_{2}$ .

$8 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{4}})$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{u_{2}}{2}$ в $e^{4}$ и в $1$ .

$8 (\frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$4 e^{4} + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$4 e^{4} + 8 (\frac{- 1}{2})$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$4 e^{4} + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель.

$4 e^{4} + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

Этап 5.3.4

Перепишем это выражение.

$4 e^{4} + 4 \cdot - 1$

Этап 5.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 e^{4} - 4$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$4 e^{4} - 4$

Десятичная форма:

$214.39260013 \dots$

Этап 7