Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$x e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x$

Этап 2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$x e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - (e^{x}]_{0}^{\ln (2)})$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $x e^{x}$ в $\ln (2)$ и в $0$ .

$(\ln (2) e^{\ln (2)}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{\ln (2)})$

Этап 3.2

Найдем значение $e^{x}$ в $\ln (2)$ и в $0$ .

$(\ln (2) e^{\ln (2)}) + 0 e^{0} - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\ln (2) \cdot 2 + 0 e^{0} - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Этап 3.3.2

Перенесем $2$ влево от $\ln (2)$ .

$2 \cdot \ln (2) + 0 e^{0} - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Этап 3.3.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 \ln (2) + 0 \cdot 1 - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Этап 3.3.4

Умножим $0$ на $1$ .

$2 \ln (2) + 0 - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Этап 3.3.5

Добавим $2 \ln (2)$ и $0$ .

$2 \ln (2) - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Этап 3.3.6

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$2 \ln (2) - (2 - e^{0})$

Этап 3.3.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 \ln (2) - (2 - 1 \cdot 1)$

Этап 3.3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \ln (2) - (2 - 1)$

Этап 3.3.9

Вычтем $1$ из $2$ .

$2 \ln (2) - 1 \cdot 1$

Этап 3.3.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \ln (2) - 1$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \ln (2) - 1$

Десятичная форма:

$0.38629436 \dots$

Этап 5