Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} {(1 - 4 x)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - 4 x$ . Тогда $d u = - 4 d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$0 - 4$

Этап 1.1.4

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - 4 x$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 4$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - 4 x$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \cdot 2$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

Этап 1.5.2

Вычтем $8$ из $1$ .

$u_{upper} = - 7$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{- 7} u^{2} \frac{1}{- 4} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{- 7} u^{2} (- \frac{1}{4}) d u$

Этап 2.2

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{- 7} - \frac{u^{2}}{4} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{- 7} \frac{u^{2}}{4} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{- 7} u^{2} d u)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{- 7}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $- 7$ и в $1$ .

$- \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot - 343 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 343$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{- 343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 6.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 6.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 343 - 1}{3}$

Этап 6.2.7

Вычтем $1$ из $- 343$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 344}{3}$

Этап 6.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4} (- \frac{344}{3})$

Этап 6.2.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{344}{3}$

Этап 6.2.10

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{344}{3}$

Этап 6.2.11

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{344}{3}$ .

$\frac{344}{4 \cdot 3}$

Этап 6.2.12

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{344}{12}$

Этап 6.2.13

Сократим общий множитель $344$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Вынесем множитель $4$ из $344$ .

$\frac{4 (86)}{12}$

Этап 6.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

Этап 6.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

Этап 6.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{86}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{86}{3}$

Десятичная форма:

$28.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$28 \frac{2}{3}$

Этап 8