Математический анализ Примеры

$\int x {(x - 4)}^{9} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 4$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (u + 4) u^{9} d u$

Этап 2

Умножим $(u + 4) u^{9}$ .

$\int u \cdot u^{9} + 4 u^{9} d u$

Этап 3

Умножим $u$ на $u^{9}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $u$ на $u^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{9} + 4 u^{9} d u$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 + 9} + 4 u^{9} d u$

Этап 3.2

Добавим $1$ и $9$ .

$\int u^{10} + 4 u^{9} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{10} d u + \int 4 u^{9} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{10}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C + \int 4 u^{9} d u$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{11} u^{11} + C + 4 \int u^{9} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{9}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C + 4 (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{1}{11} u^{11} + 4 (\frac{1}{10}) u^{10} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{4}{10} u^{10} + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{2 (2)}{10} u^{10} + C$

Этап 8.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} u^{10} + C$

Этап 8.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} u^{10} + C$

Этап 8.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{2}{5} u^{10} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x - 4$ .

$\frac{1}{11} {(x - 4)}^{11} + \frac{2}{5} {(x - 4)}^{10} + C$