Математический анализ Примеры

$\int \cot (x) \ln (\sin (x)) d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . Тогда $d u_{2} = \cot (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cot (x)} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.3

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Изменим порядок множителей в $\csc (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \csc (x)$

Этап 1.1.5.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 1.1.5.3

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1.1.5.4

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (\sin (x)) + C$