Математический анализ Примеры

$\int 5 x \sqrt[3]{1 - x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x \sqrt[3]{1 - x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 2.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$5 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 3.2

Объединим $\sqrt[3]{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$5 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 5 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 5$ .

$\frac{- 5}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Этап 7.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Этап 7.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ в виде $- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 9.2.2

Умножим $3$ на $5$ .

$- \frac{15}{4 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 9.2.3

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{15}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$- \frac{15}{8} {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$