Математический анализ Примеры

$\int 7 x e^{5 x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int x e^{5 x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = e^{5 x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = 10 x e^{5 x^{2}} d x$ , следовательно $\frac{1}{10} d u_{2} = x e^{5 x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = e^{5 x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $e^{5 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{5 x^{2}}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 5 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x^{2}$ .

$e^{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{5 x^{2}} (5 (2 x))$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $5$ .

$e^{5 x^{2}} (10 x)$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{5 x^{2}} (10 x)$ .

$10 e^{5 x^{2}} x$

Этап 2.1.4.2

Изменим порядок множителей в $10 e^{5 x^{2}} x$ .

$10 x e^{5 x^{2}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$7 \int \frac{1}{10} d u_{2}$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$7 (\frac{1}{10} u_{2} + C)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $7 (\frac{1}{10} u_{2} + C)$ в виде $7 (\frac{1}{10}) u_{2} + C$ .

$7 (\frac{1}{10}) u_{2} + C$

Этап 4.2

Объединим $7$ и $\frac{1}{10}$ .

$\frac{7}{10} u_{2} + C$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{5 x^{2}}$ .

$\frac{7}{10} e^{5 x^{2}} + C$