Математический анализ Примеры

$\int_{- 3}^{2} x^{2} + x - 6 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + - 6 x]_{- 3}^{2}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}$ и $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + - 6 x]_{- 3}^{2}$

Этап 5.1.2

Объединим $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ и $- 6 x]_{- 3}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x]_{- 3}^{2}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x$ в $2$ и в $- 3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{3} + \frac{2}{1} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{8}{3} + 2 - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.6

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.7

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.9.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{8 + 6}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.9.2

Добавим $8$ и $6$ .

$\frac{14}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.10

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\frac{14}{3} - 12 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.11

Чтобы записать $- 12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} - 12 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.12

Объединим $- 12$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} + \frac{- 12 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{14 - 12 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.14.1

Умножим $- 12$ на $3$ .

$\frac{14 - 36}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.14.2

Вычтем $36$ из $14$ .

$\frac{- 22}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{22}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.16

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.17

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 27$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 27}{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.18

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.18.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.18.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.18.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.18.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9}{1} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.18.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.19

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{1}{2} \cdot 9 - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.20

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.21

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.22

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9 \cdot 2 + 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.24.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 18 + 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.24.2

Добавим $- 18$ и $9$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Этап 5.2.2.26

Умножим $- 6$ на $- 3$ .

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + 18)$

Этап 5.2.2.27

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + 18 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 5.2.2.28

Объединим $18$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2})$

Этап 5.2.2.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{22}{3} - \frac{- 9 + 18 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.30.1

Умножим $18$ на $2$ .

$- \frac{22}{3} - \frac{- 9 + 36}{2}$

Этап 5.2.2.30.2

Добавим $- 9$ и $36$ .

$- \frac{22}{3} - \frac{27}{2}$

Этап 5.2.2.31

Чтобы записать $- \frac{22}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Этап 5.2.2.32

Чтобы записать $- \frac{27}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{22}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.2.33

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.33.1

Умножим $\frac{22}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.2.33.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.2.33.3

Умножим $\frac{27}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 5.2.2.33.4

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27 \cdot 3}{6}$

Этап 5.2.2.34

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 22 \cdot 2 - 27 \cdot 3}{6}$

Этап 5.2.2.35

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.35.1

Умножим $- 22$ на $2$ .

$\frac{- 44 - 27 \cdot 3}{6}$

Этап 5.2.2.35.2

Умножим $- 27$ на $3$ .

$\frac{- 44 - 81}{6}$

Этап 5.2.2.35.3

Вычтем $81$ из $- 44$ .

$\frac{- 125}{6}$

Этап 5.2.2.36

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{125}{6}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{125}{6}$

Десятичная форма:

$- 20.8\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$- 20 \frac{5}{6}$

Этап 7