Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{4} x^{2} - 6 x + 9 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 6 x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 6 x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Этап 3

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 9 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 9 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 9 x]_{2}^{4}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}$ и $9 x]_{2}^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ в $4$ и в $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 9 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 9 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 + 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$\frac{64}{3} + 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3

Умножим $9$ на $4$ .

$\frac{64}{3} + 36 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.4

Чтобы записать $36$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + 36 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.5

Объединим $36$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{36 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64 + 36 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.7.1

Умножим $36$ на $3$ .

$\frac{64 + 108}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7.2

Добавим $64$ и $108$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.10

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 18) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.11

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.12

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{172}{3} - \frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.14.1

Умножим $18$ на $3$ .

$\frac{172}{3} - \frac{8 + 54}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.14.2

Добавим $8$ и $54$ .

$\frac{172}{3} - \frac{62}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{172 - 62}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.16

Вычтем $62$ из $172$ .

$\frac{110}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.17

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.18

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.18.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.18.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.19

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{4}{2})$

Этап 7.2.3.20

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.20.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 7.2.3.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Этап 7.2.3.20.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.20.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2}{1})$

Этап 7.2.3.20.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - 1 \cdot 2)$

Этап 7.2.3.21

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - 2)$

Этап 7.2.3.22

Вычтем $2$ из $8$ .

$\frac{110}{3} - 6 \cdot 6$

Этап 7.2.3.23

Умножим $- 6$ на $6$ .

$\frac{110}{3} - 36$

Этап 7.2.3.24

Чтобы записать $- 36$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{110}{3} - 36 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.25

Объединим $- 36$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{110}{3} + \frac{- 36 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{110 - 36 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.27.1

Умножим $- 36$ на $3$ .

$\frac{110 - 108}{3}$

Этап 7.2.3.27.2

Вычтем $108$ из $110$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{6}$

Этап 9