Математический анализ Примеры

$\int_{- 4}^{2} x^{2} + 2 x - 8 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 4}^{2} x^{2} d x + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 \int_{- 4}^{2} x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + - 8 x]_{- 4}^{2}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2}$ и $- 8 x]_{- 4}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 8 x]_{- 4}^{2}$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $- 4$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 8 x]_{- 4}^{2}$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} - 8 x$ в $2$ и в $- 4$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$2 (2 - \frac{16}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.4

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (2 - \frac{8}{1}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.4.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$2 (2 - 1 \cdot 8) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$2 (2 - 8) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.6

Вычтем $8$ из $2$ .

$2 \cdot - 6 + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.7

Умножим $2$ на $- 6$ .

$- 12 + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 12 + \frac{1}{3} \cdot 8 - 8 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 8 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.10

Умножим $- 8$ на $2$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 16 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.11

Чтобы записать $- 16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.12

Объединим $- 16$ и $\frac{3}{3}$ .

$- 12 + \frac{8}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 12 + \frac{8 - 16 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.14.1

Умножим $- 16$ на $3$ .

$- 12 + \frac{8 - 48}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.14.2

Вычтем $48$ из $8$ .

$- 12 + \frac{- 40}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.16

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 64 - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.17

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 64$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{- 64}{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} - 8 \cdot - 4)$

Этап 7.2.3.19

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + 32)$

Этап 7.2.3.20

Чтобы записать $32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 7.2.3.21

Объединим $32$ и $\frac{3}{3}$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3})$

Этап 7.2.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{- 64 + 32 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.23.1

Умножим $32$ на $3$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{- 64 + 96}{3}$

Этап 7.2.3.23.2

Добавим $- 64$ и $96$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{32}{3}$

Этап 7.2.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 12 + \frac{- 40 - 32}{3}$

Этап 7.2.3.25

Вычтем $32$ из $- 40$ .

$- 12 + \frac{- 72}{3}$

Этап 7.2.3.26

Сократим общий множитель $- 72$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.26.1

Вынесем множитель $3$ из $- 72$ .

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3}$

Этап 7.2.3.26.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.26.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3 (1)}$

Этап 7.2.3.26.2.2

Сократим общий множитель.

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.26.2.3

Перепишем это выражение.

$- 12 + \frac{- 24}{1}$

Этап 7.2.3.26.2.4

Разделим $- 24$ на $1$ .

$- 12 - 24$

Этап 7.2.3.27

Вычтем $24$ из $- 12$ .

$- 36$

Этап 8