Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{5} (x) d x$

Этап 1

Вынесем $\cos^{4} (x)$ за скобки.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Этап 2.2

Перепишем ${\cos (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\cos^{2} (x)$ в виде $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Этап 4

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Этап 4.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 4.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Этап 5

Развернем ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${(1 - u^{2})}^{2}$ в виде $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int_{0}^{1} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{1} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Этап 5.5

Перенесем $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Этап 5.6

Перенесем $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.7

Умножим $1$ на $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.11

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Этап 5.13

Добавим $2$ и $2$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Этап 5.14

Вычтем $u^{2}$ из $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Этап 5.15

Изменим порядок $- 2 u^{2}$ и $u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Этап 5.16

Перенесем $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Этап 8

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + u]_{0}^{1}$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ и $u]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + u]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\frac{1}{5} u^{5} + u$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{u^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 13.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 13.3.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$\frac{1}{5} + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 13.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 13.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 13.3.5

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 13.3.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 13.3.7

Умножим $\frac{1}{5}$ на $0$ .

$\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 13.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 13.3.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 13.3.10

Добавим $\frac{6}{5}$ и $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 13.3.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 13.3.12

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 13.3.13

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.13.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 13.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 13.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 13.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 13.3.13.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0)$

Этап 13.3.14

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0)$

Этап 13.3.15

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3})$

Этап 13.3.16

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3}$

Этап 13.3.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6}{5} - \frac{2}{3}$

Этап 13.3.18

Чтобы записать $\frac{6}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 13.3.19

Чтобы записать $- \frac{2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 13.3.20

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.20.1

Умножим $\frac{6}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 13.3.20.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 13.3.20.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Этап 13.3.20.4

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15}$

Этап 13.3.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Этап 13.3.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.22.1

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Этап 13.3.22.2

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{18 - 10}{15}$

Этап 13.3.22.3

Вычтем $10$ из $18$ .

$\frac{8}{15}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8}{15}$

Десятичная форма:

$0.5\overline{3}$