Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (x) d x$

Этап 1

Вынесем $\sin^{4} (x)$ за скобки.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Этап 2.2

Перепишем ${\sin (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (x)$ в виде $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Этап 4

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 4.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 4.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{0} - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{0} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Этап 6

Развернем ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем ${(1 - u^{2})}^{2}$ в виде $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int_{1}^{0} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Этап 6.5

Перенесем $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Этап 6.6

Перенесем $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.7

Умножим $1$ на $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.11

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Этап 6.13

Добавим $2$ и $2$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Этап 6.14

Вычтем $u^{2}$ из $- u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Этап 6.15

Изменим порядок $- 2 u^{2}$ и $u^{4}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Этап 6.16

Перенесем $1$ .

$- \int_{1}^{0} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\int_{1}^{0} u^{4} d u + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{5}$ и $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Этап 10

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u]_{1}^{0})$

Этап 14

Объединим $\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0}$ и $u]_{1}^{0}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + u]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Этап 15

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем значение $\frac{u^{5}}{5} + u$ в $0$ и в $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Этап 15.2

Найдем значение $\frac{u^{3}}{3}$ в $0$ и в $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.7

Добавим $1$ и $5$ .

$- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.8

Вычтем $\frac{6}{5}$ из $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.11

Единица в любой степени равна единице.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3}))$

Этап 15.3.12

Вычтем $\frac{1}{3}$ из $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3}))$

Этап 15.3.13

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3}))$

Этап 15.3.14

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3})$

Этап 15.3.15

Чтобы записать $- \frac{6}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3})$

Этап 15.3.16

Чтобы записать $\frac{2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 15.3.17

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.17.1

Умножим $\frac{6}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 15.3.17.2

Умножим $5$ на $3$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 15.3.17.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Этап 15.3.17.4

Умножим $3$ на $5$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15})$

Этап 15.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15}$

Этап 15.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.19.1

Умножим $- 6$ на $3$ .

$- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15}$

Этап 15.3.19.2

Умножим $2$ на $5$ .

$- \frac{- 18 + 10}{15}$

Этап 15.3.19.3

Добавим $- 18$ и $10$ .

$- \frac{- 8}{15}$

Этап 15.3.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{8}{15}$

Этап 15.3.21

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{8}{15})$

Этап 15.3.22

Умножим $\frac{8}{15}$ на $1$ .

$\frac{8}{15}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8}{15}$

Десятичная форма:

$0.5\overline{3}$