Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{2 x}{3}$ . Тогда $d u = \frac{2}{3} d x$ , следовательно $\frac{3}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{2 x}{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{3}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $2 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3}$

Этап 1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 (1)}$

Этап 1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Этап 1.3.1.2.4

Разделим $2 \cdot 0$ на $1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \frac{π}{2}}{3}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим $2$ и $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Этап 1.5.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим выражение $\frac{2 π}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Этап 1.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{1}}{3}$

Этап 1.5.2.2

Разделим $π$ на $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

Этап 2.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{3}{2} d u$

Этап 2.3

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

Этап 2.4

Перенесем $3$ влево от $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Этап 5

Найдем значение $\sin (u)$ в $\frac{π}{3}$ и в $0$ .

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (0))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0))$

Этап 6.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

Этап 6.4

Добавим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Десятичная форма:

$1.29903810 \dots$