Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл x^3cos(2x) по x
Этап 1
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Объединим и .
Этап 2.2
Объединим и .
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Объединим и .
Этап 5
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Объединим и .
Этап 6.2
Объединим и .
Этап 6.3
Объединим и .
Этап 6.4
Умножим на .
Этап 6.5
Объединим и .
Этап 6.6
Объединим и .
Этап 6.7
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.7.1
Вынесем множитель из .
Этап 6.7.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.7.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 6.7.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 6.7.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 6.7.2.4
Разделим на .
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Умножим на .
Этап 8.2
Умножим на .
Этап 9
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 10
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Объединим и .
Этап 10.2
Объединим и .
Этап 10.3
Объединим и .
Этап 11
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 12
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1.1
Дифференцируем .
Этап 12.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 12.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 12.1.4
Умножим на .
Этап 12.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 13
Объединим и .
Этап 14
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 15
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1
Умножим на .
Этап 15.2
Умножим на .
Этап 16
Интеграл по имеет вид .
Этап 17
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 17.1
Перепишем в виде .
Этап 17.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 17.2.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 17.2.2
Объединим и .
Этап 17.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 17.2.4
Умножим на .
Этап 17.2.5
Объединим и .
Этап 17.2.6
Умножим на .
Этап 17.2.7
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 17.2.7.1
Вынесем множитель из .
Этап 17.2.7.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 17.2.7.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 17.2.7.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 17.2.7.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 17.2.7.2.4
Разделим на .
Этап 18
Заменим все вхождения на .
Этап 19
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 19.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 19.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 19.1.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 19.1.2.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 19.1.2.1.1
Умножим на .
Этап 19.1.2.1.2
Объединим и .
Этап 19.1.2.2
Объединим и .
Этап 19.1.2.3
Объединим и .
Этап 19.1.3
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 19.1.3.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 19.1.3.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 19.2
Изменим порядок членов.