Математический анализ Примеры

$\int \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

Этап 1.1.1.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1}$

Этап 1.1.1.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 1.1.1.3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 1.1.1.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$\frac{x}{{(u + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.6.1.2

Разделим $A x + B$ на $1$ .

$x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.6.2

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ и $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.2.1

Умножим на $1$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Этап 1.1.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Этап 1.1.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 1)}{1}$

Этап 1.1.6.2.2.4

Разделим $(C x + D) (x^{2} + 1)$ на $1$ .

$x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 1)$

Этап 1.1.6.3

Развернем $(C x + D) (x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x + B + C x (x^{2} + 1) + D (x^{2} + 1)$

Этап 1.1.6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D (x^{2} + 1)$

Этап 1.1.6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Этап 1.1.6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Этап 1.1.6.4.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Этап 1.1.6.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Этап 1.1.6.4.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Этап 1.1.6.4.2

Умножим $C$ на $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D \cdot 1$

Этап 1.1.6.4.3

Умножим $D$ на $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D$

Этап 1.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Перенесем $B$ .

$x = A x + C x^{3} + C x + D x^{2} + B + D$

Этап 1.1.7.2

Перенесем $C x$ .

$x = A x + C x^{3} + D x^{2} + C x + B + D$

Этап 1.1.7.3

Перенесем $A x$ .

$x = C x^{3} + D x^{2} + A x + C x + B + D$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = D$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + C$

Этап 1.2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B + D$

Этап 1.2.5

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $C$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перепишем уравнение в виде $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 0$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Этап 1.3.2.2

Заменим все вхождения $C$ в $1 = A + C$ на $0$ .

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Этап 1.3.2.3

Упростим $1 = A + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1.1

Избавимся от скобок.

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Этап 1.3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.2.1

Добавим $A$ и $0$ .

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $D$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Этап 1.3.3.2

Заменим все вхождения $D$ в $0 = B + D$ на $0$ .

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Этап 1.3.3.3

Упростим $0 = B + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.1

Избавимся от скобок.

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Этап 1.3.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Добавим $B$ и $0$ .

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Этап 1.3.4

Перепишем уравнение в виде $B = 0$ .

$B = 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Этап 1.3.5

Решим систему уравнений.

$B = 0 A = 1 D = 0 C = 0$

Этап 1.3.6

Перечислим все решения.

$B = 0, A = 1, D = 0, C = 0$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$\frac{1 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 0}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.3

Разделим $0$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

Этап 1.5.4

Удалим ноль из выражения.

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ в виде $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

Этап 7.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$