Математический анализ Примеры

$\int e^{- x^{4}} (- 4 x^{3}) d x$

Этап 1

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$- 4 \int e^{- x^{4}} (x^{3}) d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- 4 \int e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} u_{1} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ в виде ${u_{1}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \int e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} u_{1} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \int e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} u_{1} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$- 4 \int e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} u_{1} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 4 \int e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} u_{1} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 4 \int e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} u_{1} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- 4 \int e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} u_{1} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- 4 \int e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} u_{1} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 4 \int e^{- {u_{1}}^{2}} u_{1} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$- 4 \int \frac{e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} u_{1} d u_{1}$

Этап 3.3

Объединим $\frac{e^{- {u_{1}}^{2}}}{2}$ и $u_{1}$ .

$- 4 \int \frac{e^{- {u_{1}}^{2}} u_{1}}{2} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 4 (\frac{1}{2} \int e^{- {u_{1}}^{2}} u_{1} d u_{1})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 4$ .

$\frac{- 4}{2} \int e^{- {u_{1}}^{2}} u_{1} d u_{1}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{- {u_{1}}^{2}} u_{1} d u_{1}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{- {u_{1}}^{2}} u_{1} d u_{1}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{- {u_{1}}^{2}} u_{1} d u_{1}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{1} \int e^{- {u_{1}}^{2}} u_{1} d u_{1}$

Этап 5.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \int e^{- {u_{1}}^{2}} u_{1} d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Тогда $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Этап 6.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- {u_{1}}^{2}$ по $u_{1}$ равна $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 7.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 11.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 11.3

Умножим $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 12

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}} + C$

Этап 13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- {u_{1}}^{2}$ .

$e^{- {u_{1}}^{2}} + C$

Этап 13.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$e^{- {(x^{2})}^{2}} + C$