Математический анализ Примеры

$\int \cos^{3} (4 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 4 x$ . Тогда $d u_{1} = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Этап 2

Объединим $\cos^{3} (u_{1})$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Вынесем $\cos^{2} (u_{1})$ за скобки.

$\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\cos^{2} (u_{1})$ в виде $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Этап 6.1.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 10

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Этап 11

Упростим.

$\frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Этап 12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Этап 12.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (4 x)) + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\sin^{3} (4 x)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Этап 13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} \sin (4 x) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Этап 13.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sin (4 x)$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Этап 13.4

Умножим $\frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{\sin^{3} (4 x)}{3}$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{4 \cdot 3} + C$

Этап 13.4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{12} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{12} \sin^{3} (4 x) + C$