Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 x^{2} - 4}{x^{2}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (3 x^{2} - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{2} - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 4) x^{- 2} d x$

Этап 2

Умножим $(3 x^{2} - 4) x^{- 2}$ .

$\int 3 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$\int 3 (x^{- 2} x^{2}) - 4 x^{- 2} d x$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 x^{- 2 + 2} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 3.1.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\int 3 x^{0} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 3.2

Упростим $3 x^{0}$ .

$\int 3 - 4 x^{- 2} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 d x + \int - 4 x^{- 2} d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 x + C + \int - 4 x^{- 2} d x$

Этап 6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$3 x + C - 4 \int x^{- 2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$3 x + C - 4 (- x^{- 1} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$3 x - 4 (- \frac{1}{x}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$3 x + 4 \frac{1}{x} + C$

Этап 8.2.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{x}$ .

$3 x + \frac{4}{x} + C$