Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x \ln^{4} (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $u^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Этап 2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- 4}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ в виде $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Этап 4.2.2

Перенесем $3$ влево от $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{3 \ln^{3} (x)} + C$