Математический анализ Примеры

$\int \frac{5}{9 x^{2} + 49} d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \frac{1}{9 x^{2} + 49} d x$

Этап 2

Изменим порядок $9 x^{2}$ и $49$ .

$5 \int \frac{1}{49 + 9 x^{2}} d x$

Этап 3

Вынесем множитель $9$ из $49 + 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $9$ из $49$ .

$5 \int \frac{1}{9 (\frac{49}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Этап 3.2

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$5 \int \frac{1}{9 (\frac{49}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Этап 3.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (\frac{49}{9}) + 9 (x^{2})$ .

$5 \int \frac{1}{9 (\frac{49}{9} + x^{2})} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{49}{9} + x^{2}} d x)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{9}$ и $5$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{\frac{49}{9} + x^{2}} d x$

Этап 6

Перепишем $\frac{49}{9}$ в виде ${(\frac{7}{3})}^{2}$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{{(\frac{7}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{7}{3})}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\frac{7}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C$ .

$\frac{5}{9} (\frac{1}{\frac{7}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5}{9} (1 (\frac{3}{7}) \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C)$

Этап 8.1.2

Умножим $\frac{3}{7}$ на $1$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C)$

Этап 8.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (x \frac{3}{7}) + C)$

Этап 8.1.4

Объединим $x$ и $\frac{3}{7}$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (\frac{x \cdot 3}{7}) + C)$

Этап 8.1.5

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (\frac{3 \cdot x}{7}) + C)$

Этап 8.1.6

Объединим $\frac{3}{7}$ и $\arctan (\frac{3 x}{7})$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{7})}{7} + C)$

Этап 8.2

Перепишем $\frac{5}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{7})}{7} + C)$ в виде $\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$ .

$\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $\frac{5}{9}$ на $\frac{3}{7}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Этап 8.3.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15}{9 \cdot 7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Этап 8.3.3

Умножим $9$ на $7$ .

$\frac{15}{63} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Этап 8.3.4

Сократим общий множитель $15$ и $63$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{3 (5)}{63} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Этап 8.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $63$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 21} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Этап 8.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 21} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Этап 8.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{21} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$