Математический анализ Примеры

Этап 1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.2
Производная по равна .
Этап 1.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.2
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.2.4
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.1
Добавим и .
Этап 1.2.4.2
Умножим на .
Этап 2
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.2.2
Производная по равна .
Этап 2.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.3
Возведем в степень .
Этап 2.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.5
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.1
Добавим и .
Этап 2.5.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.5.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.5.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.5.5
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.5.1
Добавим и .
Этап 2.5.5.2
Умножим на .
Этап 2.6
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.6.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.6.2
Производная по равна .
Этап 2.6.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.7
Возведем в степень .
Этап 2.8
Возведем в степень .
Этап 2.9
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.10
Добавим и .
Этап 2.11
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.12
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.13
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.14
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.14.1
Добавим и .
Этап 2.14.2
Умножим на .
Этап 2.14.3
Изменим порядок членов.
Этап 3
Найдем третью производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.2.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.2.2.2
Производная по равна .
Этап 3.2.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.2.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.2.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.2.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.2.6
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.6.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.2.6.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.2.6.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.2.7
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.7.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.2.7.2
Производная по равна .
Этап 3.2.7.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.2.8
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.2.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.2.10
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.2.11
Добавим и .
Этап 3.2.12
Умножим на .
Этап 3.2.13
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.13.1
Перенесем .
Этап 3.2.13.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.13.2.1
Возведем в степень .
Этап 3.2.13.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.2.13.3
Добавим и .
Этап 3.2.14
Добавим и .
Этап 3.2.15
Умножим на .
Этап 3.2.16
Возведем в степень .
Этап 3.2.17
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.2.18
Добавим и .
Этап 3.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.3.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.3.2.2
Производная по равна .
Этап 3.3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.3.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.3.6
Добавим и .
Этап 3.3.7
Умножим на .
Этап 3.3.8
Возведем в степень .
Этап 3.3.9
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.3.10
Добавим и .
Этап 3.4
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.1
Изменим порядок множителей в .
Этап 3.4.2
Добавим и .
Этап 4
Найдем четвертую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.2.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.2.2.2
Производная по равна .
Этап 4.2.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.2.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.2.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.2.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.2.6
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.6.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.2.6.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.2.6.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.2.7
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.7.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.2.7.2
Производная по равна .
Этап 4.2.7.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.2.8
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.2.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.2.10
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.2.11
Добавим и .
Этап 4.2.12
Умножим на .
Этап 4.2.13
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.13.1
Перенесем .
Этап 4.2.13.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.13.2.1
Возведем в степень .
Этап 4.2.13.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.2.13.3
Добавим и .
Этап 4.2.14
Добавим и .
Этап 4.2.15
Умножим на .
Этап 4.2.16
Возведем в степень .
Этап 4.2.17
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.2.18
Добавим и .
Этап 4.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.3.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.3.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.3.3.2
Производная по равна .
Этап 4.3.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.3.4
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.3.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.6
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.3.7
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.7.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.3.7.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.7.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.3.8
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.8.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.3.8.2
Производная по равна .
Этап 4.3.8.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.3.9
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.3.10
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.11
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.3.12
Добавим и .
Этап 4.3.13
Умножим на .
Этап 4.3.14
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.14.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.3.14.2
Добавим и .
Этап 4.3.15
Добавим и .
Этап 4.3.16
Умножим на .
Этап 4.3.17
Возведем в степень .
Этап 4.3.18
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.3.19
Добавим и .
Этап 4.3.20
Возведем в степень .
Этап 4.3.21
Возведем в степень .
Этап 4.3.22
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.3.23
Добавим и .
Этап 4.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.4.2
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.2.1
Умножим на .
Этап 4.4.2.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 4.4.2.3
Добавим и .