Математический анализ Примеры

$2 \sin (x) + \sin (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Этап 1.3.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Этап 2.3.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \sin (2 x)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \cos (x) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 3.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Этап 3.3.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (2 \cdot \cos (2 x))$

Этап 3.3.7

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f''' (x) = - 2 \cos (x) - 8 \cos (2 x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $- 2 \cos (x) - 8 \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Этап 4.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 \cos (2 x)$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \sin (x) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 4.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$2 \sin (x) - 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 4.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Этап 4.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- 2 \sin (2 x))$

Этап 4.3.7

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$f^{4} (x) = 2 \sin (x) + 16 \sin (2 x)$