Математический анализ Примеры

$\int (x^{3} - 2 x^{2}) (\frac{1}{x} - 5) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(x^{3} - 2 x^{2}) (\frac{1}{x} - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{3} (\frac{1}{x} - 5) - 2 x^{2} (\frac{1}{x} - 5) d x$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{3} \frac{1}{x} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} (\frac{1}{x} - 5) d x$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{3} \frac{1}{x} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Этап 1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\int x \cdot x^{2} \frac{1}{x} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Этап 1.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\int x \cdot x^{2} \frac{1}{x} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Этап 1.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\int x^{2} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Этап 1.2.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x^{3}$ .

$\int x^{2} - 5 \cdot x^{3} - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Этап 1.2.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{2}$ .

$\int x^{2} - 5 x^{3} + x (- 2 x) \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Этап 1.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\int x^{2} - 5 x^{3} + x (- 2 x) \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Этап 1.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\int x^{2} - 5 x^{3} - 2 x - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Этап 1.2.1.4

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$\int x^{2} - 5 x^{3} - 2 x + 10 x^{2} d x$

Этап 1.2.2

Добавим $x^{2}$ и $10 x^{2}$ .

$\int 11 x^{2} - 5 x^{3} - 2 x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 11 x^{2} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Этап 3

Поскольку $11$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $11$ из-под знака интеграла.

$11 \int x^{2} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 5 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Этап 5

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 \int x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 2 x d x$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 \int x d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} - 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (- x^{2})}{2} + C$

Этап 9.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (- x^{2})}{2 (1)} + C$

Этап 9.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (- x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Этап 9.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{- x^{2}}{1} + C$

Этап 9.2.3.2.4

Разделим $- x^{2}$ на $1$ .

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} - x^{2} + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$\frac{11}{3} x^{3} - \frac{5}{4} x^{4} - x^{2} + C$