Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} {(1 - \frac{5}{x})}^{x}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x} - \frac{5}{x})}^{x}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x - 5}{x})}^{x}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\frac{x - 5}{x})}^{x}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{x - 5}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x - 5}{x})}^{x})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(\frac{x - 5}{x})}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{x \ln (\frac{x - 5}{x})}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x - 5}{x})}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 5}{x})}$

Этап 3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x - 5}{x})}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 5}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 3.6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 5}{8})}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 5}{8})$ путем переноса $8$ под логарифм.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 5}{8})}^{8})}$

Этап 5.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(\frac{8 - 1 \cdot 5}{8})}^{8}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

${(\frac{8 - 5}{8})}^{8}$

Этап 5.3.2

Вычтем $5$ из $8$ .

${(\frac{3}{8})}^{8}$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $\frac{3}{8}$ .

$\frac{3^{8}}{8^{8}}$

Этап 5.5

Возведем $3$ в степень $8$ .

$\frac{6561}{8^{8}}$

Этап 5.6

Возведем $8$ в степень $8$ .

$\frac{6561}{16777216}$