Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (\sqrt{x})}{x^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (\sqrt{x})}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Этап 2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} \sqrt{x})}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\ln (\sqrt{lim_{x \to 8} x})}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\ln (\sqrt{lim_{x \to 8} x})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\ln (\sqrt{8})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\ln (\sqrt{8})}{8^{2}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\ln (\sqrt{4 (2)})}{8^{2}}$

Этап 6.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\ln (\sqrt{2^{2} \cdot 2})}{8^{2}}$

Этап 6.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\ln (2 \sqrt{2})}{8^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\ln (2 \sqrt{2})}{64}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln (2 \sqrt{2})}{64}$

Десятичная форма:

$0.01624563 \dots$