Математический анализ Примеры

Этап 1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.4
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.4.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.4.4
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.4.1
Добавим и .
Этап 1.4.4.2
Умножим на .
Этап 1.5
Возведем в степень .
Этап 1.6
Возведем в степень .
Этап 1.7
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.8
Добавим и .
Этап 1.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.10
Умножим на .
Этап 1.11
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.11.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.11.2
Умножим на .
Этап 1.11.3
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.11.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.11.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.11.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.11.4
Добавим и .
Этап 2
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.3.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.4
Умножим на .
Этап 2.3.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.3.6
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.6.1
Добавим и .
Этап 2.3.6.2
Перенесем влево от .
Этап 2.4
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.4.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.4.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.5
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.1
Перенесем влево от .
Этап 2.5.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.5.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.5.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.5.5
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.5.1
Добавим и .
Этап 2.5.5.2
Умножим на .
Этап 2.6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.6.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.6.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.6.3
Умножим на .
Этап 2.6.4
Умножим на .
Этап 2.6.5
Умножим на .
Этап 2.6.6
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.6.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.6.6.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.6.6.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.6.7
Изменим порядок множителей в .
Этап 3
Найдем третью производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Продифференцируем, используя правило умножения на константу.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.1.1.2
Умножим на .
Этап 3.1.2
Упростим путем добавления членов.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.1
Добавим и .
Этап 3.1.2.2
Добавим и .
Этап 3.1.3
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.3
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.3.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3.4
Умножим на .
Этап 3.3.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.3.6
Добавим и .
Этап 3.4
Возведем в степень .
Этап 3.5
Возведем в степень .
Этап 3.6
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.7
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.7.1
Добавим и .
Этап 3.7.2
Перенесем влево от .
Этап 3.8
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.9
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.9.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.9.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.9.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.10
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.10.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.10.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.10.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.10.4
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.10.4.1
Добавим и .
Этап 3.10.4.2
Умножим на .
Этап 3.11
Возведем в степень .
Этап 3.12
Возведем в степень .
Этап 3.13
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.14
Добавим и .
Этап 3.15
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.16
Умножим на .
Этап 3.17
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.17.2
Умножим на .
Этап 3.17.3
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.17.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 3.17.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 3.17.4
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.1
Воспользуемся бином Ньютона.
Этап 3.17.4.2
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.2.1
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.2.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.17.4.2.1.2
Умножим на .
Этап 3.17.4.2.2
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.2.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.17.4.2.2.2
Умножим на .
Этап 3.17.4.2.3
Умножим на .
Этап 3.17.4.2.4
Возведем в степень .
Этап 3.17.4.2.5
Умножим на .
Этап 3.17.4.2.6
Возведем в степень .
Этап 3.17.4.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.17.4.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.4.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.4.1.1
Перенесем .
Этап 3.17.4.4.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.17.4.4.1.3
Добавим и .
Этап 3.17.4.4.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 3.17.4.4.3
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 3.17.4.4.4
Умножим на .
Этап 3.17.4.5
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.5.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.5.1.1
Перенесем .
Этап 3.17.4.5.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.17.4.5.1.3
Добавим и .
Этап 3.17.4.5.2
Умножим на .
Этап 3.17.4.5.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.5.3.1
Перенесем .
Этап 3.17.4.5.3.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.17.4.5.3.3
Добавим и .
Этап 3.17.4.5.4
Умножим на .
Этап 3.17.4.6
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.6.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 3.17.4.6.2
Перепишем в виде .
Этап 3.17.4.6.3
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.6.3.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.17.4.6.3.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.17.4.6.3.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.17.4.6.4
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.6.4.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.6.4.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.6.4.1.1.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.17.4.6.4.1.1.2
Добавим и .
Этап 3.17.4.6.4.1.2
Перенесем влево от .
Этап 3.17.4.6.4.1.3
Умножим на .
Этап 3.17.4.6.4.2
Добавим и .
Этап 3.17.4.6.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.17.4.6.6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.6.6.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.6.6.1.1
Перенесем .
Этап 3.17.4.6.6.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.17.4.6.6.1.3
Добавим и .
Этап 3.17.4.6.6.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 3.17.4.6.6.3
Умножим на .
Этап 3.17.4.6.7
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.6.7.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.6.7.1.1
Перенесем .
Этап 3.17.4.6.7.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.17.4.6.7.1.3
Добавим и .
Этап 3.17.4.6.7.2
Умножим на .
Этап 3.17.4.6.8
Воспользуемся бином Ньютона.
Этап 3.17.4.6.9
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.6.9.1
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.6.9.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.17.4.6.9.1.2
Умножим на .
Этап 3.17.4.6.9.2
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.6.9.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.17.4.6.9.2.2
Умножим на .
Этап 3.17.4.6.9.3
Умножим на .
Этап 3.17.4.6.9.4
Возведем в степень .
Этап 3.17.4.6.9.5
Умножим на .
Этап 3.17.4.6.9.6
Возведем в степень .
Этап 3.17.4.7
Добавим и .
Этап 3.17.4.8
Добавим и .
Этап 3.17.4.9
Добавим и .
Этап 3.17.4.10
Развернем , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.
Этап 3.17.4.11
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.11.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 3.17.4.11.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.11.2.1
Перенесем .
Этап 3.17.4.11.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.17.4.11.2.3
Добавим и .
Этап 3.17.4.11.3
Умножим на .
Этап 3.17.4.11.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 3.17.4.11.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.11.5.1
Перенесем .
Этап 3.17.4.11.5.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.17.4.11.5.3
Добавим и .
Этап 3.17.4.11.6
Умножим на .
Этап 3.17.4.11.7
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 3.17.4.11.8
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.4.11.8.1
Перенесем .
Этап 3.17.4.11.8.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.17.4.11.8.3
Добавим и .
Этап 3.17.4.11.9
Умножим на .
Этап 3.17.4.11.10
Умножим на .
Этап 3.17.4.11.11
Умножим на .
Этап 3.17.4.11.12
Умножим на .
Этап 3.17.4.11.13
Умножим на .
Этап 3.17.4.11.14
Умножим на .
Этап 3.17.4.12
Добавим и .
Этап 3.17.4.13
Добавим и .
Этап 3.17.4.14
Добавим и .
Этап 3.17.5
Добавим и .
Этап 3.17.6
Добавим и .
Этап 3.17.7
Добавим и .
Этап 3.17.8
Добавим и .
Этап 3.17.9
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.17.10
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.17.10.1
Умножим на .
Этап 3.17.10.2
Умножим на .
Этап 3.17.10.3
Умножим на .
Этап 3.17.10.4
Умножим на .
Этап 3.17.10.5
Умножим на .
Этап 4
Найдем четвертую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.2.3
Умножим на .
Этап 4.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.3
Умножим на .
Этап 4.4
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.4.3
Умножим на .
Этап 4.5
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.5.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.5.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.5.3
Умножим на .
Этап 4.6
Продифференцируем, используя правило константы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.6.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.6.2
Добавим и .